Kalimat Kuantor

Hai kawan - kawan berikut saya akan menjelaskan kalimat kuantor yaitu  suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” dari suatu objek dalam suatu sistem. Suatu kesimpulan dalam logika sering digambarkan menggunakan kuantor-kuantor sebagai berikut.

1. Kuantor Universal (Kuantor Umum)

Pernyataan “Semua manusia adalah fana” dapat dinyatakan dengan “Untuk setiap obyek, obyek itu fana”.

Kata “obyek itu” adalah sebagai ganti “obyek” sebelumnya. Kata ini dinamakan variabel individual, yang dapat kita ganti dengan lambang “x”, sehingga kita peroleh :

“Untuk setiap x, x adalah fana”.

Lebih singkat lagi, sesuai dengan cara pemberian symbol pada pernyataan tunggal, kita peroleh :

“Untuk setiap x, Mx”.

Ungkapan “Untuk setiap (semua) x” disebut Kuantor Universal atau Kuantor Umum (Universal Quintifier), dan diberisimbol dengan “(∀)”. Dengan symbol batu ini kita dapat melengkapi simbolasi (pemberian symbol) pernyataan umum pertama tadi dengan notasi (∀x) Mx.

Tanda ∀ dibaca “untuk setiap” atau “untuk semua”. Notasi lain daripada ∀ adalah A. bahkan ada pula para ahli yang tidak mencantumkan kedua simbol ini dalam menyatakan Kuantor Umum, sehingga notasinya cukup dengan : (x) Mx.

Notasi (∀x) Mx, seperti diatas, dibaca “untuk setiap x, x mempunyai sifat “M”, atau “untuk setiap x, berlaku Mx”. Akibat adanya kuantor ∀x, maka Mx menjadi kalimat tertutup (pernyataan).

Contoh :

1)      Misalkan Mx : x + 2 > 0. Maka M (-1/2)  = -1/2 + 2 > 0 ada lah pernyataan yang B (benar).

2)      Misalkan x adalah bilangan real, maka (∀x) [x2 + 2 > 0] mempunyai nilai kebenaran B (benar).

3)       Misalkan x adalah bilangan real, maka(∀x) [x2 + 1 = 0] nilai kebenarannya S (salah).

2.      Kuantor Eksistensial (Kuantor Khusus)

Seperti halnya dalam menyusun ungkapan pernyataan umum pada Kuantor Umum di atas, kita pun dapat melakukan hal yang serupa untuk pernyataan “Sesuatu adalah fana”, dengan:

Ada paling sedikit satu yang fana.

Ada sekuran-kurangnya satu yang fana.

Ada paling sedikit satu obyek, sedemikian rupa sehingga obyek itu adalah fana.

Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga x adalah fana.

Lebih singkat lagi dapat kita tulis :

Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx.

Pernyataan “Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga”, atau “Ada sekurang-kurangnya satu x, sedemikian rupa sehingga” dinamakan “Kuantor Khusus” atau “Kuantor Eksistensial” (Exitential Quantifier), dan diberi simbol “(Ǝx)”. Dengan menggunakan symbol baru ini, kita dapat melengkapi penyimbolan terhadap pernyataan umum kedua di atas dengan : (Ǝx) Mx.

Pernyataan (Ǝx) Mx dibaca : Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx, atau beberapa x, sehingga berlaku Mx.

Contoh :

1)      (Ǝx) [x2 + 1 = 0], dibaca “ada paling sedikit satu x, sehingga x2 + 1 = 0”. Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah (S).

2)      (Ǝx) [2x + 5 ≠ 2 + 2x], dibaca “ ada paling sedikt satu x, sehingga 2x + 5 ≠ 2 + 2x”. nilai kebenarannya adalah benar (B).

Kuantifikasi Eksistensial dalam fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu substitution instansenya benar. Demikian pula, jika Kuantifikasi Universal sebuah proposisi benar, maka Kuantifikasi Eksistensialnya tentu benar pula. Ini berarti, jika (∀x) Mx benar, maka (Ǝx) Mx benar pula.

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Perhatikan 2 pernyataan dibawah ini :

(1) Beberapa mahasiswa menganggap Kalkulus sukar.

(2) Tak ada mahasiswa yang suka menyontek.

Pernyataan (1) merupakan negasi dari “Semua mahasiswa tak menganggap Kalkulus sukar”, sedangkan pernyataan (2) merupakan negasi dari “Beberapa mahasiswa suka menyontek”.

Pada pernyataan-pernyataan di atas, pernyataan (2), yakni “Tak ada mahasiswa yang suka menyontek” sama dengan “Semua mahasiswa tak suka menyontek”. Ini berarti pernyataan (2) sebenarnya masih mempunyai bentuk kuantor (∀x) Mx.

Dari uraian di atas, kita dapat menarik kesimpulan bahwa negasi Kuantor mempunyai sifat-sifat berikut :

1)      Negasi dari Kuantor Universal sebuah fungsi proposisi adalah logically equivalent dengan Kuantor Eksistensial dari negasi fungsi proposisinya.

2)      Negasi dari Kuantor Eksistensial dari sebuah fungsi proposisi adalah logically equivalent dengan Kuantor Universal dari negasi fungsi proposisinya.

Dalam bentuk lambing dapat kita nyatakan dengan :

(a) ~ (∀x) Mx ≡ (Ǝx) ~ Mx

(b) ~ (Ǝx) Mx ≡ (∀x) ~ Mx

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan berikut :

1.      Semua bilangan cacah adalah bilangan real.

2.      Beberapa bilangan asli adalah bilangan rasional.

3.      Tak ada bilangan prima yang genap.

4.      Semua mahasiswa tak suka menganggur.

5.      Tak ada guru yang senag jaipingan.

Jawab :

1.      Beberapa bilangan cacah adalah bukan bilangan real.

2.      Semua bilangan asli adalah bukan bilangan rasional.

3.      Beberapa bilangan prima ada yang genap.

4.      Ada paling sedikit satu mahasiswa (seorang mahasiswa) yang suka menganggur.

5.      Beberapa guru ada yang senang jaipongan.

terima kasih